Temel Finans Matematiği – SPK Lisansları Ders Notlarım

85

PARANIN ZAMAN DEĞERİ VE FAİZ HESAPLAMALARI

Paranın zaman değeri, bugün elde edilen paranın gelecekte elde edilecek aynı tutardaki paradan daha değerli olduğu finansal bir kavramdır. Bu değerlilik, paranın yatırım yapılarak artırılabilmesi veya tüketim için kullanılabilmesi gibi faydalarından kaynaklanır. Faiz hesaplamaları ise, paranın zaman içindeki değer artışını ölçmek için kullanılır ve genellikle basit faiz veya bileşik faiz olarak iki ana tipe ayrılır.

Basit Faiz

Basit faiz, yatırım süresi boyunca sadece anapara üzerinden hesaplanan faiz türüdür. Yani, zaman içinde faiz kazancı anaparaya eklenmez ve faiz sadece anapara üzerinden tekrar faiz üretmez. Bu durum, basit faizin bileşik faize kıyasla daha az getiri sağlamasına neden olur.

Faiz=Anapara × Faiz Oranı × Zaman

Formülde yer alan değişkenler:

• Anapara: Yatırım yapılan veya borç alınan para miktarı
• Faiz Oranı: Yıllık faiz oranı (örneğin, %10)
• Zaman: Faizin hesaplanacağı süre (yıl, ay, gün cinsinden)

Evrensel olarak kullanılan formül aşağıdaki gibidir.

Basit Faiz= P × r × t

( P ) ana para, ( r ) yıllık faiz oranı ve ( t ) zaman (yıl olarak) anlamına gelir.

Örnek:

10.000 TL’yi yıllık %10 faiz oranıyla 3 yıl boyunca yatırırsanız, basit faiz kazancı şu şekilde hesaplanır:

Faiz = 10.000 TL x %10 x 3 = 3.000 TL

Yani, 3 yıl sonunda toplam paranız 13.000 TL olacaktır.

Basit Faizin Özellikleri:

• Faiz sadece anapara üzerinden hesaplanır.
• Zaman içinde faiz kazancı anaparaya eklenmez.
• Bileşik faize kıyasla daha az getiri sağlar.
• Kısa vadeli yatırımlar için daha uygundur.
• Hesaplanması nispeten kolaydır.

Basit faiz, kredi kartı borçları, mevduat hesapları ve bazı kredi türleri gibi finansal işlemlerde yaygın olarak kullanılır. Yatırım yaparken veya borç alırken faiz türünü ve hesaplama şeklini göz önünde bulundurmak, en doğru kararı vermenize yardımcı olacaktır.

Dikkat Edilmesi Gerekenler:

• Basit faiz, yatırım süresi boyunca sabit bir oranda hesaplanır.
• Faiz oranları ve hesaplama şekilleri, finansal kurumlara ve ürünlere göre değişiklik gösterebilir.
• Yatırım yapmadan veya borç almadan önce faiz koşullarını detaylı olarak incelemeniz önemlidir.

Bileşik Faiz

Bileşik faiz, yatırım süresi boyunca her dönemin faizi anaparaya ilave edilerek kazanılan faiz üzerinden hesaplanan faizdir. Bu şekilde, bir dönem sonunda birikmiş miktar (dönem başı anapara+dönemin faizi) gelecek dönemde kazanılacak faizi hesaplamada kullanılacak anapara haline gelir.

Bileş​ik Faiz=Anapara×(1+FaizOranı)^(Dönem Sayısı×Zaman)

Formülde yer alan değişkenler:

• Anapara: Yatırım yapılan veya borç alınan para miktarı
• Faiz Oranı: Yıllık faiz oranı (örneğin, %10)
• Dönem Sayısı: Faiz hesaplama sıklığı (yıl için 1, ay için 12, gün için 365 gibi)
• Zaman: Faizin hesaplanacağı süre (yıl, ay, gün cinsinden)

Evrensel olarak kullanılan formül aşağıdaki gibidir.

Bileş​ik Faiz=P×(1+r)^n*t

( P ) ana para, ( r ) yıllık faiz oranı, ( n ) dönem sayısı ve ( t ) zaman (yıl olarak) anlamına gelir.

10.000 TL’yi yıllık %10 faiz oranıyla 3 yıl boyunca aylık bileşik faiz ile yatırırsanız, faiz kazancı şu şekilde hesaplanır:

Faiz = 10.000 TL x [1 + (%10/12)]^(12*3) = 4.077 TL

Yani, 3 yıl sonunda toplam paranız 14.077 TL olacaktır.

Bileşik Faizin Özellikleri:

• Faiz, her dönem sonunda anaparaya eklenerek hesaplanır

Paranın Zaman Değeri Hesaplamaları

Paranın Zaman Değeri Nedir?

Paranın zaman değeri, bugünkü paranın gelecekteki değerinden daha fazla değerli olması anlamına gelir. Bunun sebebi, paranın zamanla faiz kazandırabilmesidir. Bu nedenle, bugünkü parayla satın alabileceğiniz şeylerin gelecekte daha pahalı olacağını unutmamak önemlidir.

Paranın Zaman Değeri Hesaplamaları Neden Önemlidir?

Paranın zaman değeri hesaplamaları, yatırım ve borçlanma kararlarında bilinçli seçimler yapabilmemiz için kritik önem taşır. Bu hesaplamalar sayesinde:

• Gelecekteki bir paranın bugünkü değerini hesaplayabiliriz.
• Bugünkü bir paranın gelecekte ne kadar değer kazanacağını öngörebiliriz.
• Farklı yatırım seçeneklerinin getirilerini karşılaştırabiliriz.
• Kredi faiz oranlarının bize sağlayacağı yükü anlayabiliriz.

Paranın Zaman Değeri Hesaplamaları

Paranın Gelecekteki Değeri (GD): Gelecekteki değer, bugünkü bir miktar paranın belirli bir faiz oranıyla gelecekte ulaşacağı toplam değeri ifade eder. Formülü şöyledir:

GD=Anapara×(1+FaizOranı)^Zaman

Örnek: 10.000 TL’nin 5 yıl sonunda %10 yıllık faiz oranıyla gelecekteki değeri:

GD=10.000×(1+0.10)^5=16.105,10TL

Paranın Bugünkü Değeri (BD): Bugünkü değer, gelecekteki bir miktar paranın bugünkü değerine indirgenmiş halidir. İskonto oranı kullanılarak hesaplanır ve formülü şöyledir:

BD=GelecektekiDeg˘​er÷(1+I˙skontoOranı)^Zaman

Örnek: 5 yıl sonra alınacak 16.105,10 TL’nin bugünkü değeri, %10 iskonto oranıyla:

BD=16.105,10÷(1+0.10)^5=10.000TL

Nakit Akışları: Nakit akışları, belirli zaman aralıklarında gerçekleşen para hareketleridir ve iki ana tipe ayrılır:

1. Bir Defa Gerçekleşen Nakit Akışı: Bu tip, tek seferlik bir ödeme veya tahsilatı ifade eder.
2. Seri Halindeki Nakit Akışı: Bu tip, periyodik olarak gerçekleşen ödemeleri veya tahsilatları ifade eder ve iki alt kategoriye ayrılır:
   • Dönemsel Nakit Akışlarının Birbirinden Farklı Olması: Her dönemdeki nakit akışı miktarı farklıdır.
   • Dönemsel Nakit Akışlarının Birbiriyle Aynı Olması (Anüite): Her dönemdeki nakit akışı miktarı sabittir ve genellikle anüite olarak adlandırılır.

Paranın Zaman Değeri Hesaplamaları: Örneklerle Anlatım

Paranın zaman değeri, bugünkü paranın gelecekteki değerinden daha fazla değerli olması anlamına gelir. Bu ders notunda, paranın zaman değeri hesaplamalarını iki ana başlık altında inceleyeceğiz:

1. Bir Defa Gerçekleşen Nakit Akışı:

1.1. Bir Defa Gerçekleşen Nakit Akışının Gelecekteki Değeri:

Bugünkü bir paranın gelecekte ne kadar değer kazanacağını hesaplama işlemidir. Bu hesaplamada kullanılan formül, paranın faiz oranı ve yatırım süresi gibi faktörlere bağlıdır.

Örnek:

Bugün 10.000 TL yatırım yaparsanız ve yıllık %10 bileşik faiz oranı ile 5 yıl boyunca yatırırsanız, paranızın gelecekteki değeri ne kadar olacaktır?

Formül:

GD = BD * (1 + r/n)^(n * t)

Veriler:

• BD: Bugünkü Değer (10.000 TL)
• r: Yıllık Faiz Oranı (%10)
• n: Faiz Hesaplama Periyodu (1 yıl)
• t: Yatırım Süresi (5 yıl)

Hesaplama:

GD = 10.000 TL * (1 + 0,1/1)^(1 * 5) = 16.105 TL

Sonuç:

5 yıl sonra paranız 16.105 TL’ye ulaşacaktır.

1.2. Bir Defa Gerçekleşen Nakit Akışının Bugünkü Değeri:

Gelecekteki bir paranın bugünkü değerini hesaplama işlemidir. Bu hesaplamada kullanılan formül, paranın faiz oranı ve yatırım süresi gibi faktörlere bağlıdır.

Örnek:

5 yıl sonra 20.000 TL alacağınızı varsayalım. Bugünkü değeri yıllık %8 indirgeme oranıyla hesaplamak için:

Formül:

BD = GD / (1 + r)^t

Veriler:

• GD: Gelecekteki Değer (20.000 TL)
• r: Yıllık İndirme Oranı (%8)
• t: Yatırım Süresi (5 yıl)

Hesaplama:

BD = 20.000 TL / (1 + 0,08)^5 = 12.963 TL

Sonuç:

5 yıl sonra alacağınız 20.000 TL’nin bugünkü değeri 12.963 TL’dir.

2. Seri Halinde Gerçekleşen Nakit Akışları:

2.1. Seri Halinde Nakit Akışının Gelecekteki Değeri:

Dönemler itibarıyla birbirinden farklı olan nakit akışlarının gelecekteki değeri her döneme ait nakit akışlarının ayrı ayrı hesaplanan gelecekteki değerleri toplamına eşittir.

Örnek:

Gelecek 3 yıl boyunca her yıl sırasıyla 5.000 TL, 6.000 TL ve 7.000 TL alacağınızı varsayalım. Bu nakit akışlarının 3 yıl sonraki toplam değerini bulmak için:

Formül:

NAGDt = NA1 * (1 + r)^2 + NA2 * (1 + r)^1 + NA3 * (1 + r)^0

Veriler:

• NA1: 1. Yıl Nakit Akışı (5.000 TL)
• NA2: 2. Yıl Nakit Akışı (6.000 TL)
• NA3: 3. Yıl Nakit Akışı (7.000 TL)
• r: Yıllık Faiz Oranı (%10)

Hesaplama:

NAGDt = 5.000 TL * (1 + 0,1)^2 + 6.000 TL * (1 + 0,1)^1 + 7.000 TL * (1 + 0,1)^0 = 20.100 TL

Sonuç:

3 yıl sonra alacağınız toplam para 20.100 TL olacaktır.

2.2. Seri Halinde Nakit Akışlarının Bugünkü Değeri:

Dönemler itibarıyla birbirinden farklı olan nakit akışlarının bugünkü değeri her döneme ait nakit akışının ayrı ayrı bugünkü değerleri toplamına eşittir.

Örnek:

Gelecekte 3 yıl boyunca her yıl sırasıyla 5.000 TL, 6.000 TL ve 7.000 TL alacağınızı varsayalım. Bu nakit akışlarının bugünkü değerini yıllık %8 indirgeme oranıyla hesaplamak için:

Formül:

BDt = NA1 / (1 + r)^t + NA2 / (1 + r)^(t-1) + NA3 / (1 + r)^(t-2)

Veriler:

• NA1: 1. Yıl Nakit Akışı (5.000 TL)
• NA2: 2. Yıl Nakit Akışı (6.000 TL)
• NA3: 3. Yıl Nakit Akışı (7.000 TL)
• r: Yıllık İndirme Oranı (%8)

Hesaplama:

BDt = 5.000 TL / (1 + 0,08)^3 + 6.000 TL / (1 + 0,08)^2 + 7.000 TL / (1 + 0,08)^1 = 16.937 TL

Sonuç:

Bu nakit akışlarının bugünkü değeri 16.937 TL’dir.

2.3. Dönemsel Nakit Akışları (Anüite):

Dönemsel nakit akışları, her dönemde aynı miktarda para giriş veya çıkışı gerçekleşen nakit akışlarıdır. Örneğin, maaş veya kira gibi. Gelecekteki ve bugünkü değerlerini hesaplamak için anüite tabloları veya formülleri kullanılabilir.

Anüitelerin Gelecekteki Değeri

Anüite, belirli bir zaman aralığında eşit aralıklarla alınan veya ödenen bir dizi nakit akışıdır. Örneğin, her ay düzenli kira geliri almak veya her ay kredi taksiti ödemek birer anüitedir. Anüitelerin gelecekteki değerini hesaplamak, yatırım veya borçlanma kararlarında önemli rol oynar.

Anüitelerin Gelecekteki Değerini Hesaplama Formülü:

Anüitelerin gelecekteki değerini hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılabilir:

GD = NA * [ (1 + r)^n – 1 ] / r

Formüldeki Değişkenler:

• GD: Gelecekteki Değer
• NA: Aylık veya Yıllık Anüite Tutarı
• r: Aylık veya Yıllık Faiz Oranı
• n: Toplam Ay veya Yıl Sayısı

Örnek:

Her ay 1.000 TL kira geliri elde ettiğinizi ve bu gelirin 5 yıl boyunca devam edeceğini varsayalım. Bu anüitenin 5 yıl sonraki toplam değerini yıllık %10 faiz oranıyla hesaplamak için:

Veriler:

• NA: Aylık Kira Geliri = 1.000 TL
• r: Yıllık Faiz Oranı = %10
• n: Toplam Yıl Sayısı = 5 yıl

Hesaplama:

GD = 1.000 TL * [ (1 + 0,1)^5 – 1 ] / 0,1 = 61.051 TL

Sonuç:

5 yıl sonra alacağınız toplam kira geliri 61.051 TL olacaktır.

Anüitelerin Bugünkü Değeri

Anüite, belirli bir zaman aralığında eşit aralıklarla alınan veya ödenen bir dizi nakit akışıdır. Örneğin, her ay düzenli kira geliri almak veya her ay kredi taksiti ödemek birer anüitedir. Anüitelerin bugünkü değerini hesaplamak, yatırım veya borçlanma kararlarında önemli rol oynar.

Anüitelerin Bugünkü Değerini Hesaplama Formülü:

Anüitelerin bugünkü değerini hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılabilir:

BD = NA * [ 1 – (1 + r)^(-n) ] / r

Formüldeki Değişkenler:

• BD: Bugünkü Değer
• NA: Aylık veya Yıllık Anüite Tutarı
• r: Aylık veya Yıllık Faiz Oranı
• n: Toplam Ay veya Yıl Sayısı

Örnek:

Her ay 1.000 TL kira geliri elde ettiğinizi ve bu gelirin 5 yıl boyunca devam edeceğini varsayalım. Bu anüitenin bugünkü değerini yıllık %10 indirgeme oranıyla hesaplamak için:

Veriler:

• NA: Aylık Kira Geliri = 1.000 TL
• r: Yıllık İndirme Oranı = %10
• n: Toplam Yıl Sayısı = 5 yıl

Hesaplama:

BD = 1.000 TL * [ 1 – (1 + 0,1)^(-5) ] / 0,1 = 46.096 TL

Sonuç:

Bu anüitenin bugünkü değeri 46.096 TL’dir.

Elbette, işte sizin için hazırladığım çoktan seçmeli finans matematiği sınavı:

1. 5 yıl süreyle her yılın sonunda 3.000 TL yatırırsanız ve bankanın yıllık faiz oranı %5 ise, 5 yılın sonunda toplam ne kadar paranız olur?
   • A) 15.000 TL
   • B) 15.762,50 TL
   • C) 16.288,95 TL
   • D) 17.500 TL
2. Bir yatırım fonu, yıllık %7 bileşik faiz oranı sunmaktadır. Eğer bugün 10.000 TL yatırırsanız, 10 yıl sonra yatırımınızın değeri ne kadar olur?
   • A) 19.671,51 TL
   • B) 19.682,56 TL
   • C) 20.000 TL
   • D) 21.000 TL
3. Her ayın sonunda 500 TL biriktirerek bir emeklilik fonuna katkıda bulunuyorsunuz. Fon, aylık %0.5 faiz oranı sunuyor. 20 yıl sonra toplam birikiminiz ne kadar olacak?
   • A) 120.000 TL
   • B) 145.300 TL
   • C) 165.329,77 TL
   • D) 200.500 TL
4. Bir ev satın almak için 200.000 TL’ye ihtiyacınız var. Banka, 5 yıl vadeli, yıllık %6 faiz oranı ile birikim hesabı sunuyor. Her yılın sonunda ne kadar para yatırmanız gerekiyor?
   • A) 31.680 TL
   • B) 33.578,07 TL
   • C) 35.000 TL
   • D) 40.000 TL
5. Bir iş kurmak için 50.000 TL sermaye gerekiyor. 3 yıl içinde bu parayı biriktirmek istiyorsunuz. Bankanız yıllık %4 faiz oranı sunuyor. Her yıl ne kadar para yatırmanız gerekiyor?
   • A) 15.980 TL
   • B) 16.000 TL
   • C) 16.129,34 TL
   • D) 17.500 TL
6. Üniversite eğitimi için çocuğunuzun 18 yaşına geldiğinde 100.000 TL’ye ihtiyacınız olacak. Çocuğunuz şu anda 8 yaşında ve bankanız yıllık %5 faiz oranı sunuyor. Her yıl ne kadar para yatırmanız gerekiyor?
   • A) 6.259,57 TL
   • B) 7.000 TL
   • C) 7.500 TL
   • D) 8.000 TL
7. Bir araba için 60.000 TL peşinatınız var ve geri kalan 40.000 TL’yi 4 yıl vadeli, aylık %0.7 faiz oranı ile ödemek istiyorsunuz. Aylık ödemeniz ne kadar olacak?
   • A) 900 TL
   • B) 950 TL
   • C) 1.011,45 TL
   • D) 1.100 TL
8. Bir işletme açmak için 5 yıl içinde 150.000 TL biriktirmek istiyorsunuz. Bankanız yıllık %6 faiz oranı sunuyor ve siz her altı ayda bir para yatırmak istiyorsunuz. Altı ayda bir ne kadar yatırmanız gerekiyor?
   • A) 13.500 TL
   • B) 14.239,55 TL
   • C) 15.000 TL
   • D) 16.000 TL
9. Bir ev için 250.000 TL’lik ipotek kredisi kullanıyorsunuz. Kredi, 20 yıl vadeli ve yıllık %5 faiz oranı ile. Aylık ödemeniz ne kadar olacak?
   • A) 1.649,30 TL
   • B) 1.650,30 TL
   • C) 1.700 TL
   • D) 1.750 TL

Temel Finans Matematiği Örnek Sorular (Çözümler)

1. 5 Yıllık Yatırım Sonrası Toplam Para (5.000 TL Yatırım, %5 Faiz):

Veriler:

• Yıllık Yatırım: 3.000 TL
• Faiz Oranı: %5
• Süre: 5 yıl

Soru: 5 yılın sonunda toplam ne kadar paranız olur?

Çözüm:

Bu soruyu çözmek için bileşik faiz formülünü kullanabiliriz:

Bileşik Faiz Formülü:

Son Değer = Anapara * (1 + Faiz Oranı)^Süre

Hesaplama:

Son Değer = 3.000 TL/yıl * (1 + 0,05)^5
Son Değer ≈ 16.288,95 TL

Cevap: 5 yılın sonunda toplam paranız yaklaşık 16.288,95 TL olacaktır.

Doğru Cevap: C) 16.288,95 TL

2. 10 Yıllık Yatırım Değeri (10.000 TL Yatırım, %7 Faiz):

Veriler:

• Anapara: 10.000 TL
• Faiz Oranı: %7
• Süre: 10 yıl

Soru: 10 yıl sonra yatırımınızın değeri ne kadar olur?

Çözüm:

Bileşik faiz formülünü kullanarak:

Son Değer = 10.000 TL * (1 + 0,07)^10
Son Değer ≈ 19.671,51 TL

Cevap: 10 yıl sonra yatırımınızın değeri yaklaşık 19.671,51 TL olacaktır.

Doğru Cevap: A) 19.671,51 TL

3. 20 Yıllık Emeklilik Birikimi (500 TL Aylık Yatırım, %0.5 Faiz):

Veriler:

• Aylık Yatırım: 500 TL
• Aylık Faiz Oranı: %0.5
• Süre: 20 yıl

Soru: 20 yıl sonra toplam birikiminiz ne kadar olacak?

Çözüm:

Bileşik faiz formülünü aylık yatırımlar için uyarlayarak:

Son Değer = Aylık Yatırım * ((1 + Aylık Faiz Oranı)^Süre - 1) / Aylık Faiz Oranı

Hesaplama:

Son Değer = 500 TL/ay * ((1 + 0,005)^240 - 1) / 0,005
Son Değer ≈ 165.329,77 TL

Cevap: 20 yıl sonra toplam birikiminiz yaklaşık 165.329,77 TL olacaktır.

Doğru Cevap: C) 165.329,77 TL

4. 5 Yıllık Ev Birikimi (200.000 TL Hedef, %6 Faiz):

Veriler:

• Hedef: 200.000 TL
• Faiz Oranı: %6
• Süre: 5 yıl

Soru: Her yılın sonunda ne kadar para yatırmanız gerekiyor?

Çözüm:

Hedef miktara ulaşmak için her yıl yatırmanız gereken tutarı bulmak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:

Yıllık Yatırım = Hedef / ((1 + Faiz Oranı)^Süre - 1) / Faiz Oranı

Hesaplama:

Yıllık Yatırım = 200.000 TL / ((1 + 0,06)^5 - 1) / 0,06
Yıllık Yatırım ≈ 33.578,07 TL

Cevap: Her yılın sonunda yaklaşık 33.578,07 TL yatırmanız gerekiyor.

Doğru Cevap: B) 33.578,07 TL

5. 3